El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell, a la matemática no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Frege, Russell y los logicistas³³ y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos.

En el umbral de la matemática intuicionista se encuentran los números naturales, los cuales se construyen de inmediato en la mente del matemático; la verdad de los enunciados referidos a ellos se basa en la evidencia intuitiva.³⁴ Son el punto de partida en la construcción del edificio. Asimismo, dado que los objetos matemáticos están presentes como algo dado en la intuición, o se construyen a partir de aquello que así se ofrece, Brouwer tiene como norma que toda definición sea constructiva, es decir, indique la manera de obtener los objetos definidos. En cuanto a la noción de construcción mental, ésta no puede explicarse a través de conceptos que le sean más simples; es, en este sentido, primigenia.

De lo anterior se desprende que el intuicionismo de Brouwer comprende dos cuestiones en cierto sentido complementarias. Una es su base filosófica, que encuentra sus raíces en la filosofía de Kant; la otra, es la peculiar reconstrucción que hace de la matemática, comenzando por la aritmética.³⁵

Para entender la polémica de Brouwer con Hilbert, lo más conveniente es enunciar de manera sucinta algunas de sus ideas acerca de la matemática clásica y la manera en que considera se le debe rehacer. Si se tiene presente que para él la matemática es ante todo una actividad constructiva del intelecto humano y que sus métodos y procedimientos se han de supeditar a la posibilidad misma de la construcción, las siguientes conclusiones, extraídas de sus escritos, se explican por sí mismas:

1) La aritmética no se puede justificar mediante un fundamento axiomático, pues la intuición precede a dicha estructura. La inducción matemática es una intuición fundamental, no sólo un axioma.
2) La matemática debe suministrar métodos y criterios constructivos para determinar en un número finito de pasos los objetos con los que trata. Toda prueba debe ser constructiva.
En particular, dado que el infinito actual no tiene un fundamento constructivo, tampoco tiene cabida en la matemática. Sólo se admite el infinito en potencia (es decir, se rechaza la teoría de conjuntos de Cantor).
3) La existencia de los objetos matemáticos depende de la posibilidad de construcción de los objetos mismos; por tanto, “existen” sólo aquellos seres matemáticos que son construidos.
En particular, el axioma de elección de Zermelo, uno de los pilares de la reconstrucción axiomática de la teoría de conjuntos, es inaceptable: los objetos cuya existencia afirma no satisfacen la exigencia de ser el resultado de una construcción.
Junto con la condena del infinito actual, Brouwer rechaza las pruebas de existencia por reducción al absurdo (introducidas por Hilbert en el siglo diecinueve), pues en ellas no se indica la manera de construir el objeto. Esto trajo como consecuencia la restricción del principio del tercero excluido —sobre el que se basan estas pruebas— a conjuntos finitos. De ahí la siguiente tesis:
4) El principio del tercero excluido no siempre es válido con relación a proposiciones en las que se hace referencia a conjuntos infinitos.

Como se ve, Brouwer se arroga la tarea de poner entre paréntesis la matemática existente a fin de reconstruir sus partes vitales, esta vez utilizando sólo conceptos y modos de inferencia con una clara justificación intuitiva. Esta postura constituía un exceso a los ojos de una gran mayoría de matemáticos. En el punto de partida ni siquiera la lógica está prejuzgada; más bien, sus reglas se van generando como parte de la actividad mental del matemático.³⁶ De hecho, Brouwer desestima el proyecto de formalización de la lógica intuicionista de su discípulo Arend Heyting, calificándolo de “ejercicio estéril”.

Brouwer es quizá el matemático que asume con mayor ahínco la tesis kantiana de que la aritmética es una ciencia cuyos rudimentos se hallan en la intuición pura del tiempo. Hamilton hizo algo semejante con relación al álgebra en el siglo diecinueve; no obstante, sus esfuerzos no tuvieron ni la repercusión ni la envergadura de los de Brouwer, cuya escuela representa una dirección bien constituida en la actualidad.

En lo que sigue examinaremos la respuesta de Hilbert al radicalismo de Brouwer, cuya postura surgió en medio de un debate acerca de la legitimidad de la teoría de los conjuntos de Cantor, los principios axiomáticos asumidos por Zermelo para esta teoría y los métodos de demostración no constructivos introducidos por Hilbert en el siglo diecinueve. Además, ahí estaba la crisis desencadenada por las paradojas en la teoría de conjuntos y las críticas a la reconstrucción del continuo numérico basada en las llamadas cortaduras de Dedekind.