Trayectoria: Es el camino que debe recorrer el robot para llegar de un punto a otro, si hablamos de la trayectoria (Figura 5) que sigue el efector a través de una línea recta, una curva o cualquier otra figura geométrica. En general, la trayectoria se presenta en coordenadas cartesianas (x,y,z).
Figura 5. Trayectorias cartesiana y polar.
Interpolación: En cada trayectoria, es necesario definir una cantidad de puntos intermedios por los que debe pasar el efector. Al método que genera estos puntos se le llama interpolación. En el caso de la trayectoria lineal hay que definir los puntos x,y,z sobre la línea, dividiendo el trayecto completo en tramos. En el caso de la trayectoria angular, aunque todos los ángulos evolucionan de forma independiente, por lo general, todos comienzan y terminan al mismo tiempo por lo que el trayecto completo también se puede dividir en tramos, pero en este caso los ángulos de cada articulación varían en distintas magnitudes. Debemos hacer notar que para la trayectoria lineal es necesario utilizar la cinemática inversa, puesto que para cada punto x,y,z de la interpolación lineal es necesario calcular las posiciones angulares que debe alcanzar cada articulación. En general, el robot Scorbot ER Vplus trabaja en dos sistemas de coordenadas: en el sistema de coordenadas de ejes, JOINTS, y en el sistema de coordenadas cartesiana XYZ. El sistema de coordenadas cartesianas es un sistema geométrico, usado para representar la posición x,y,z del punto central de la pinza por medio de la definición de distancia desde el punto de origen, que se encuentra en el centro de la base, hacia los ejes a lo largo de los tres ejes coordenados. Cuando se ejecuta un movimiento en modo Joints, los ejes se mueven individualmente.
Fundamentos matemáticos: Las ecuaciones obtenidas por la cinemática directa y la cinemática inversa3 deben ser coherentes con el modelo virtual diseñado en 3D. Cuando el robot mueve su estructura, en modo JOINTS, está constantemente utilizando cinemática directa; es decir, a partir de los ángulos ya conocidos incrementa los valores de sus articulaciones q0,q1,q2,q3 (Figura 7) para mover el efector (o pinza). Si el robot se mueve en modo XYZ primero se realizan los cálculos de cinemática directa para conocer el punto (xp,yp,zp) actual de la pinza, luego se incrementa uno o todos los valores del punto (xp,yp,zp) para mover la pinza en línea recta, y con el nuevo punto se calcula, por medio de cinemática inversa, los valores q0,q1,q2,q3 que corresponden a ese punto; finalmente, sólo queda asignar los nuevos q0,q1,q2,q3 a las articulaciones para llegar al punto esperado. La cinemática directa calcula la posición (xm, ym, zm) de la muñeca con los valores angulares q0,q1, q2; luego se calcula q3’ y, conociendo la posición de la muñeca, se puede calcular el punto (xp,yp,zp) que define en coordenadas XYZ la punta de la pinza.
Las expresiones matemáticas necesarias, para obtener (xp,yp,zp), en función de q0, q1, q2, q3 y q3’, son:
Figura 7. Cinemática directa.
Para la cinemática, tanto en la realidad como en la simulación, se conoce en todo momento los ángulos de apertura de cada articulación, por lo que se podría pensar que no se necesita calcular cinemática inversa; pero cuando se debe generar una trayectoria lineal sólo se conocen las coordenadas angulares q0,q1,q2,q3 (Figura 8) del punto actual (inicial) y del punto final, así que es necesario calcular por cinemática directa el punto xp,yp,zp inicial y final e interpolarlos (al igual que para el ángulo q3’). Para estos puntos interpolados es necesario calcular, por cinemática inversa, las posiciones angulares que debe tomar cada articulación para asegurarse que la punta de la pinza pase por los puntos interpolados sobre la recta. En la cinemática inversa la pinza se considera por separado del resto de las articulaciones, ya que gira sobre su propio eje creando el ángulo q3’. Así tendremos solamente el punto (xp,yp,zp) y q3’ como datos conocidos para calcular todas las articulaciones. Inicialmente se toma el ángulo q3’ para calcular el punto de la muñeca (xm,ym,zm), y con este punto y q3’ es posible calcular por cinemática inversa (q0,q1,q2,q3).
En función de los datos ya conocidos xp,yp,zp y q3’ obtenemos:
Figura 8 Cinemática Inversa.