Axiomas para la geometría

Otra noción que la teoría de la cuantificación vino a apuntalar es la de “estructura relacional”, en términos de la cual Hilbert ubica sus axiomas para la geometría. Se trata de “sistemas posibles de objetos” como, por ejemplo, los modelos de la teoría de grupos. Esta manera de pensar las teorías matemáticas como referidas a estructuras abstractas no tenía cabida en tiempos de Kant. Así, por ejemplo, aunque no haya contradicción en el concepto de “figura contenida entre dos líneas rectas” (A 221), para Kant esto no significa que hay una estructura no euclidiana conteniendo una figura de tal naturaleza.¹⁵ Sólo hay una manera de pensar tales propiedades: en el espacio y el tiempo de nuestra intuición (euclidiana). Fuera de ella, el concepto de figura no euclidiana permanece “vacío” y carece tanto de sentido como de significado.¹⁶ En términos un poco más técnicos: para Kant, las variables del discurso lógico habrían de variar sobre los objetos de la experiencia posible, no sobre cualesquiera objetos lógicamente posibles.

Hacia 1899 las matemáticas ya habían avanzado lo suficiente como para adoptar un punto de vista diferente. En su libro Fundamentos de la geometría [Grundlagen der Geometrie] Hilbert expone un sistema de axiomas para la geometría elemental en el marco de la teoría de la cuantificación, aunque escrito en lenguaje coloquial. Este sistema presenta una teoría explícita acerca del orden entre los puntos de una línea, ausente en los Elementos de Euclides, y axiomas relativos a la continuidad. Una finalidad del libro es reconstruir la geometría sin el recurso a la intuición, cuyo uso queda proscrito en las demostraciones. En conformidad, Hilbert no asume nada como conocido de antemano, por lo que evita la tentativa de definir los conceptos básicos de la teoría (puntos, líneas y planos) mediante explicaciones en términos de inextensión, etc.¹⁷ ; más bien, la teoría se presenta como algo relativo a cualquier sistema de “entes” (a los que denomina puntos, líneas y planos) que satisfaga los axiomas. La única exigencia es que los axiomas no se contradigan entre sí, sujetándose la cuestión de su verdad a esta limitante. Se trata, además, de un punto de vista extensible a toda la matemática, cuyas teorías pueden ser acerca de cualquier cosa mientras no incurran en contradicciones.

Fue un momento en el que la matemática logró su grado máximo de abstracción, donde por esto último debemos entender “teorizar acerca de cualquier sistema de objetos lógicamente posible”. Con ello la matemática desestimó la exigencia de que sus conceptos fueran construibles. Esto sucede, por ejemplo, con relación a los números transfinitos de Cantor, los cuales no corresponden a ninguna clase de objetos de la experiencia posible. El instrumento de tales desarrollos teóricos es el método axiomático en su formulación moderna.

Veamos cómo inicia Hilbert la exposición axiomática en los Fundamentos de la geometría:

Aclaración. Pensemos en tres clases diferentes de objetos. Llamemos a los objetos del primer sistema puntos y designémoslos con A, B, C...; llamemos a los objetos del segundo sistema rectas y designémoslas con a, b, c...; a los del tercer sistema llamémoslos planos y designémoslos con a, b, g.... Los puntos se llaman también elementos de la geometría lineal, puntos y rectas se llaman elementos de la geometría plana; y puntos, rectas y planos se llaman elementos de la geometría espacial o del espacio.

Supongamos que puntos, rectas y planos están en ciertas relaciones mutuas que designaremos con las palabras «estar en», «entre», «paralelo», «congruente» y «continuo», cuya exacta y completa descripción se logrará por medio de los axiomas de la geometría.¹⁸

Hilbert distribuye los axiomas de la geometría en cinco grupos, cada uno de los cuales expresa, según dice, “ciertos hechos, conexos entre sí y fundamentales, de nuestra intuición.”¹⁹ Tales grupos de axiomas son los siguientes: Grupo I, axiomas de incidencia; grupo II, axiomas de orden; grupo III, axiomas de congruencia, grupo IV, axioma de paralelismo (axioma de Euclides) y grupo V, axiomas de continuidad.

Los que siguen son los axiomas de orden (Grupo II) para la geometría plana, tomados, con ligeras modificaciones, de la edición de 1899. Nótese cómo algunos de ellos tiene una estructura lógica similar a la antes mencionada, cuya debida expresión requiere de la teoría de la cuantificación.

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