Frege y Hilbert

Hacia finales del siglo XIX el constructivismo de Kant dejó de ser, a los ojos de muchos matemáticos, una explicación plausible de la naturaleza de las matemáticas; más bien, se le veía como algo lleno de defectos. Eran muchas las objeciones: ¿Por qué el recurso a la intuición en las demostraciones? ¿Es en verdad indispensable? En la demostración de un teorema, ¿no debería bastar la argumentación lógica? Uno de los primeros en ocuparse de estas cuestiones fue Frege, quien, curiosamente, dirigió sus esfuerzos no tanto a la geometría como a la aritmética.

En un principio, Frege trató de integrar la matemática del siglo XIX en un cuadro epistemológico muy cercano a la tabla de las categorías de Kant. No obstante, hacia 1870 se había convencido de que las ideas de Kant acerca de la demostración en geometría eran incorrectas, y que tales deficiencias sólo se podrían corregir mediante una revisión exhaustiva de la lógica, proyecto que inició brillantemente en 1879 con la publicación de su Conceptografía [Begriffsschrift]. En 1884 estaba preparado para publicar un recuento detallado de su filosofía de las matemáticas. Desde un principio supuso que el problema central en este dominio era identificar los fundamentos de esta disciplina. Aquí por “fundamentos” se debe entender exhibir la justificación propia para los enunciados matemáticos bajo estudio. Su respuesta fue dual: La geometría se fundamenta en nuestra intuición espacial (en el sentido de Kant); la aritmética, en cambio, es un desarrollo de la lógica. Toda proposición aritmética es derivable de la lógica mediante las definiciones y la terminología adecuadas. Para llevar a cabo esta tarea elaboró un sistema lógico que, al presente, constituye el logro más importante en la historia de la lógica: la teoría de la cuantificación.¹³

En la Conceptografía, Frege presenta lo que considera el marco lógico que gobierna a todo el pensamiento racional. Los teoremas y principios ahí expuestos se hallan implícitos en cualquier pensamiento coherente acerca de cualquier cosa. Expresa, por decirlo de alguna manera, el substrato lógico de todas nuestras teorías. Es en este marco que intenta reconstruir la aritmética, refutando con ello a Kant: ésta dejaría de depender de nuestra intuición espacio-temporal, edificándose sobre la base de las condiciones más generales del pensamiento mismo. En última instancia, la proclama de Frege es la siguiente: la aritmética es analítica; sus juicios no son sintéticos a priori. A esto dirigió sus esfuerzos durante más de veinte años.

En la actualidad muchos filósofos y matemáticos comparten tesis semejantes, pero no todos. Lo que sí es universal es la aceptación del “salto hacia delante” que significó para la lógica la invención de la teoría de la cuantificación. Los recursos que ésta ofrece permiten expresar, por ejemplo, las relaciones de orden entre los puntos sobre una línea recta o entre los números reales, las cuales eran aceptadas espontáneamente en el contexto que hemos bosquejado con relación a Kant.¹⁴ Tales enunciados tienen una estructura lógica más compleja que, digamos, los postulados de Euclides, y muestran relaciones de dependencia cuantificacional como las ya señaladas.