Introducción

Fundamentos de la química cuántica

En 1926 Erwin Shrödinger publicó una serie de trabajos, en alemán^1-6 y luego en inglés,⁷ donde plantea una nueva forma de describir a la materia. En particular su énfasis se centra en los átomos, protones y electrones. Su propuesta se basó en las ideas revolucionarias de Louis de Broglie (cuyo nombre es abreviado ya que su nombre completo es Louis Victor Pierre Raymond duc de Broglie). Shrödinger cita textualmente⁷ “La teoría que está reportada en las siguientes páginas está basada sobre la muy interesante investigación fundamental de L. de Broglie sobre la que él llamó ondas de fase “ondes de phase” las cuales se piensa están asociadas con el movimiento de puntos materiales, especialmente con el movimiento de un electrón o un protón”. Sin duda, estas nuevas ideas generaron gran revuelo en la comunidad científica e incluso se generaron corrientes filosóficas sobre el uso e interpretación de esta mecánica ondulatoria, en contraparte a la ya conocida mecánica clásica de Newton, Hamilton o Lagrange.⁸ Ya que con esta nueva mecánica es imposible determinar exactamente la posición y la velocidad de un electrón, a cambio se debe de hablar sobre las regiones más probables donde se puede encontrar a esta partícula.⁹ Dentro de los sistemas que reporta Shrödinger como aplicación de su nueva forma de describir a la materia se encuentra el átomo de hidrógeno, el cual consiste de un protón y un electrón. Este era un sistema importante de estudiar ya que experimentalmente se tenía información espectroscópica que ninguna teoría podía dar cuenta de sus resultados experimentales de una manera lógica y consistente. Este fue un cimiento importante a la mecánica ondulatoria ya que pudo reproducir muchos de los datos experimentales que se tenían a la mano y de paso dejaba claro el camino a seguir para describir a los sistemas electrónicos.

La ecuación de Shrödinger con la que se trabaja generalmente en la química cuántica es aquella donde no se tiene una dependencia explícita en el tiempo, su forma es

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representa a un operador, el operador de Hamilton, y contiene todas las interacciones posibles entre los núcleos y electrones en una molécula.⁹ Evidentemente será único para un átomo, una molécula o un sólido. Al saber el tipo de interacciones que existen dentro de un sistema queda determinado exactamente y lo que hay que hacer es encontrar a la función , la función de onda, que al aplicarle el operador da como resultado a la misma función multiplicada por la constante E, esta constante representa a la energía del sistema. La ecuación 1 representa un problema de valores propios.

Cuando pensamos en una molécula, por ejemplo el agua, debemos de considerar el número de variables de las que depende la función , las cuales se obtienen al considerar las coordenadas espaciales de cada partícula, tres núcleos (dos hidrógenos y un oxígeno) y diez electrones (dos por parte de los hidrógenos y ocho por parte del oxígeno. Como cada partícula tiene tres coordenadas (x,y,z) entonces el número de variables asociadas con la función de onda del agua será de 39. Además es necesario tomar en cuenta la variable de espín de cada partícula, esto es muy importante ya que las propiedades magnéticas de la materia se deben al espín que tiene asociado cada partícula. Así que además de las coordenadas (x,y,z) se debe de tomar en cuenta una variable más, w. Sin duda alguna resolver un problema con tantas variables es muy complejo. De hecho solamente se ha resuelto, la ecuación 1, de manera analítica para sistemas que contienen un electrón. Aunque estos sistemas no están involucrados directamente con la descripción de muchas reacciones químicas han permitido generar ideas para el tratamiento de sistemas con muchos electrones. Por ejemplo, en la solución del átomo de hidrógeno se acuñó el nombre de orbital (para no confundir su función con la órbita que se puede dar en un sistema descrito por la mecánica clásica) para nombrar a la función que describe al electrón de este sistema.

Debido a que no es posible resolver de manera analítica la ecuación 1 es necesario recurrir a aproximaciones. Una de ellas es la aproximación de Born-Oppenheimer,¹⁰donde los núcleos se consideran fijos dentro de una molécula. El razonamiento matemático de esta aproximación se basa en el hecho de que el movimiento de los núcleos es mucho menor a aquel observado por los electrones. De esta manera se considera solamente como variables a las coordenadas de los electrones. En el caso de la molécula del agua la función de onda dependerá de cuarenta variables (30 espaciales y 10 de espín). Es claro que aún con la aproximación de núcleos fijos el problema sigue siendo enorme y más si pensamos en sistemas de tamaño considerable como el fulereno (C₆₀, 60 átomos de carbon) o parte de una proteína.

1. Schrodinger, E. Ann. d. Physik. (1926) 79, 361.
2. Ibid. 79, 489.
3. Ibid. 79, 734.
4. Ibid. 80, 437.
5. Ibid. 81, 109.
6. Schrodinger, E. Die Naturwissenschaften 14,
7. Schrodinger, E. Phys. Rev. (1926) 28, 1049.
8. Landau, L. D. y Lifshitz, E. M. Mechanics, Third Edition: Volume 1 (Course of Theoretical Physics). Butterworth-Heinemann,
9. Levine, I. N. Quantum Chemistry, 6th Economy Edition. Prentice Hall India, 2008.
10. Born, M. y Oppenheimer, J. R. Ann. D. Physik. (1927) 84, 457.

El impacto del Supercómputo en la química cuántica
Jorge Garza Olguín